格林公式
格林公式的几何意义
问：格林公式的几何意义是什么呢？为什么边界和积分值会有联系？就像牛顿莱布尼兹公式中定积分值和两端值有关，格林公式中区域二重积分和边界曲线积分有关。
答：
是这样的，函数P(x,y),Q(x,y)两个函数构成了格林公式的核心
我们可以将两个函数组装为一个复向量，即一个新的函数
。
这样就是2维平面上的每个点都对应一个复向量
这就像一个地图上的水流流速图（或者风向图，想想一张图上布满了小箭头），如果我们说P，Q都是连续的，即地图上的水流在相应方向是连续的。
有了这个有现实意义的理解我们就来看格林公式吧：
这个东西是什么，他是复变函数W(x,y)的C-R方程。也许你不懂？那你知道一点就好了，如果这个东西等于0，则说明这个点以及周围所有点都是是可导的（暂且先这么理解，不准确）。所以积分结果就是所有不可导的点的C-R和。
知道这些我们就可以说说格林公式的几何含义了：
P和Q组成了W，即一个水流流速图。
如果某个点水流的流速和周围不是连续的，它就是一个出水口或者入水口，他的C-R方程值是流入流出水流的速度。
格林公式就是这样的：
对于一个水流流速图，区域内所有出水口入水口的流入或流出的水的速度和，就是你在区域边界所得到的流入或流出的水的速度和。
用数学语言来讲：对于一个有源流量场，其区域内流量源流入流出速度的和，等于区域边界流速的和。
作者：苗加加
链接：https://www.zhihu.com/question/22674439/answer/22265952
来源：知乎
怎样理解格林公式和高斯公式？格林公式和高斯公式在物理或者其他领域有什么意义？
我在学习积分的时候，脑海里用的是这样的一个模型：空间上布满密密麻麻的点，每个点的质量（可以是其他某种性质的量）不同，如果是线积分，就是扫过一条线，积累下来的小点的质量；如果是面积分，就是扫过一片面，积累下来的小点的质量，同理可以往高维上发展。
直觉上，我无法接受格林公式，原因主要来自于这样一个潜意识：有一个圆，我沿着这个圆的边界采样，得到边界所有小点的总质量M，现在你告诉我圆圈内部小点的某个总量等于M。
举个更实在的例子：黑夜里，有个操场上密密麻麻散落着不同的东西，给我一个头灯，让我沿着跑道捡东西，然后我发现跑道上全是钱，捡了一圈，拢共1万块大洋，然后你告诉我跑道圈内部的东西加起来能卖一万块钱。
开完笑么？黑灯瞎火的，我怎么知道跑道内部是个什么鬼，我甚至不知道那里是绿荫草地还是煤灰渣子，里面还有座山也说不定。
我们认为我们不能了解圆圈内部的性质，是因为我们没有在里面取样，一个样本都没有。然而事实上，我们在学习一维空间的积分——牛顿-莱布尼茨公式的时候就已经遇到了这个情况：在时间段a-b两端点取样，得到的位移S，我们并没有在时间段a-b内部取样，然而却知道瞬时速度在这个时间段内的累计正好是这个S。梗就在这里：我们直觉上觉得跑道上的钱跟操场内部的事物没有关系，然而是有关系的。
图中，与y轴平行的一条虚线经过圆圈a，b两点，函数P在两点各被分成两个方向上的量，我从a点跳到b时（不经过任何其他点），捡起的量为x1-x2，相当于右上角式子的右边；而我从a沿虚线扫到b，由牛顿-莱布尼茨原理可知，积累的另外一种量（P在y轴方向的偏微商）为y2-y1，相当于右上角式子的左边。两者显然是有关系的。这个圆圈上布满了这样的虚线，由此，将牛顿-莱布尼茨原理中点与线的关系，推广到了线与面的关系。
作者：yayiyo
链接：https://www.zhihu.com/question/35874883/answer/99213280
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